Transformasi Fourier – Bagian I

TRANSFORMASI FOURIER

Bagian 1 

Kita telah mengenal formulasi deret Fourier dengan x sebagai variabel dan n sebagai pembentuk polinom ke n

dengan n adalah bilangan real. Kita telah mengetahui pula bahwa:

Atau

 

Sekali lagi kita mengulangi formula Euler namun dengan variable yang lebih spesifik yaitu variable yang menunjukkan siklus sinusoidal dalam ranah (2πN/T)x maka diperoleh:

 

Misalkan f adalah suatu fungsi yang mempunyai nilai nol selain pada rentang [-L/2, L/2].

Pada setiap T ≤ L kita dapat memperoleh f sebagai deret Fourier pada interval [-T/2, T/2] yang mempunyai besaran komponen basis sebagai berikut

   

Jika T(AN/T+iBN/T)/2 diubah menjadi f^(N/T) maka

    

Jika N adalah bilangan real maka nilai N dapat digantikan dengan n seperti pada deret Fourier dan T diasosiasikan sebagai suatu rentang periode maka:

 

maka ƒ(x)  dapat diperoleh dengan manipulasi matematis dengan menganggap T/2-(-T/2) adalah rentang untuk f(x) yang linear maka,

 

Jika x/T ->0 maka haruslah -∞ ≤n ≤∞ maka

 

sehingga

 

Kita ambil ζn = n/T dan dengan kenyataan bahwa n adalah bilangan real maka akan memperoleh Δζ = ζ(n+1) – ζn = (n+1)/T-n/T = 1/T sehingga kita akan memperoleh:

 

atau

 

merupakan suatu integral Riemann

Jika 2πn/T = ωn maka  n/T = ωn/2π sehingga 1/T =2π Δζ=Δ ω konsekuensinya Δζ = Δ ω/2π,maka persamaan di atas menjadi:

 

Jika T -> ∞ pada n -> ∞, maka Δ ω ->0, sehingga persamaan di atas menjadi:

 

Merupakan pernyataan fungsi inverse transformasi Fourier.

Persamaan (1) dapat berubah menjadi:

 

dengan ωn/2π adalah frekuensi individual. Jika kita menggantikan x dengan pernyataan waktu t maka persamaan 2 dan 3 dapat ditulis ulang menjadi:

 
dan

 

Sehingga sebagai deret Fourier f(t), transformasi Fourier dapat dipahami sebagai suatu fungsi yang mengukur seberapa banyak kah masing-masing frekuensi individual yang muncul di dalam fungsi original yang kita bahas, dan kita melakukan penggabungan/kombinasi ulang dengan menggunakan suatu integral (atau penjumlahan kontinu) untuk menghasilkan kembali fungsi originalnya.

Contoh 1:

Mari kita mencoba satu ilustrasi untuk memahami transformasi Fourier dengan lebih baik. Kita akan mencoba menggunakan fungsi yang sangat sulit diselesaikan menggunakan formula integral kontinu, namun mudah diselesaikan menggunakan integral diskret Riemann.

Ambil satu fungsi:

   yang dapat diuraikan menjadi,

 

yang menunjukkan bahwa persamaan ini mempunyai getaran dasar 1/T=3, atau T=1/3 =0.3333. Persamaan ini mengindikasikan bahwa semakin besar besaran-nilai t maka fungsi tersebut akan menuju 0. Kita mencoba menggunakan rentang t yang diperluas hingga t = 3.383333334 mulai dari t = -1.691666667 hingga t = 1.691666667 dengan ∆t = 0.001, maka kita akan memperoleh grafik original sebagai berikut:

 

Gambar 1. Gelombang original

Untuk memperoleh transformasi Fourier yang menunjukkan fungsi getaran individual  pada getaran dasarnya kita harus mengintegrasikan f(t)sejalan formula (5) sehingga diperoleh:

 

dengan ∆t = 0.001.

Berikut ini adalah grafik dari fungsi real:

 

 

Gambar 2. Grafik transformasi bagian real pada 3×1/T=3

dan grafik fungsi imajiner:

 

 

Gambar 3. Grafik transformasi bagian imajiner pada 3×1/T=3

Untuk f^(5):

Bagian real,

 

Gambar 4. Grafik transformasi bagian imajiner pada 5×1/T=5

bagian imajiner,

 

Gambar 5. Grafik transformasi bagian imajiner pada 5×1/T=5

Spektrum transformasi Fourier yang muncul :

 

Gambar 6. Kehadiran spectrum-spektrum frekuensi(1/T)  

Tambahan:

Untuk f^(1):

Bagian real,

 

Gambar 7. Grafik transformasi bagian real pada 1×1/T=1

bagian imajiner,

 

Gambar 8. Grafik transformasi bagian imajiner pada 1×1/T=1

Untuk f^(2):

 

Gambar 9. Grafik transformasi bagian real pada 2×1/T=2

bagian imajiner,

 

Gambar 10. Grafik transformasi bagian imajiner pada 2×1/T=2

Pada Gambar 6, tampak bahwa, selain spectrum pada 1/T=3 adalah tidak signifikan bahkan 0 artinya bahwa spectrum pada frekuensi tersebut tidak muncul pada pembentukan fungsi deret Fourier ataupun transformasi Fouriernya. Mengapa demikian ? Hal ini terjadi karena gelombang transformasi Fourier selain 1/T=3 baik bagian real maupun imajinernya mempunyai kesimetrisan nilai positif terhadap negatifnya sehingga integrasi yang dibentuk menuju 0. Spektrum pada 1/T = 3 mempunyai nilai paling besar yaitu 0.5, komponen spectrum ini disebut juga komponen dasar.

 Contoh 2.

Pada contoh 1 kita telah mengenal bagaimana transformasi Fourier diberlakukan pada satu fungsi kontinu. Pada contoh 2 ini kita mencoba memberlakukan transformasi Fourier jika terdapat dua fungsi trigonometrik yang berbeda namun terjadi pada satu rentang periode tertentu.

Pertama-tama kita tentukan secara fisika bahwa fungsi trigonometri tersebut berasal dari suatu gelombang arus listrik pada frekuensi dasar f= 10 hertz atau 1/T=10 hertz sehingga mempunyai ranah waktu [0;0.1detik]. Oscilogram menunjukkan bahwa gelombang arus tersebut mempunyai fungsi:

 

maka gelombang asli/origin yang muncul pada oscilogram adalah:

 

Gambar 11. Gelombang Arus oscilogram

dan mempunyai kandungan arus pada frekuensi-frekuensi individual dikalikan dengan satu periode T pada keadaan tunak/steady state sebagai berikut:

  

Gambar 12. Kandungan arus pada frekuensi-frekuensi individual dikalikan dengan satu periode 0.1 detik pada keadaan tunak/steady state

Axis pada gambar 12 menunjukkan kandungan pada frekuensi ke n*f

Jika pada waktu ke 0 detik hingga 0.006 detik terjadi “sentakan/surge” karena peristiwa switching (biasanya terjadi karena pemindahan saklar pada suatu instrument atau peristiwa pemindahan “switch-gear” pada pengalihan hubungan tegangan tinggi di gardu-gardu induk dan pembangkit listrik) maka oscilogram menunjukkan fungsi-fungsi trigonometrik yang terjadi sebagai berikut:

 

Gambar 13. Gelombang Arus oscilogram pada peristiwa “switching”

    

 dan kita akan memperoleh komponen-komponen transformasi Fouriernya sebagai berikut:

 

Gambar.14, komponen real gelombang transformasi Fourier ke n=1

Gambar.15, komponen imajiner gelombang transformasi Fourier ke n=1

 

Gambar.16, komponen real gelombang transformasi Fourier ke n=2

 

Gambar.16, komponen imajiner gelombang transformasi Fourier ke n=2

 

Gambar.17, komponen real gelombang transformasi Fourier ke n=3

 

Gambar.18, komponen imajiner gelombang transformasi Fourier ke n=3

 

Gambar.19, komponen real gelombang transformasi Fourier ke n=4

 

Gambar.20, komponen imajiner gelombang transformasi Fourier ke n=4

 

Gambar.21, komponen real gelombang transformasi Fourier ke n=5

 

Gambar.22, komponen imajiner gelombang transformasi Fourier ke n=5

 

Gambar 23. Kandungan arus pada frekuensi-frekuensi individual dikalikan dengan satu periode 0.1 detik pada suatu peristiwa “sentakan/surge” hingga keadaan menuju tunak/steady state.

Gambar 14 hingga Gambar 22, menunjukkan kepada kita bahwa komponen gelombang hasil “switching” memberikan pengaruh besar pembentukan transformasi Fouriernya seperti terlihat pada Gambar 23 (bandingkan dengan Gambar 12).

Pada dunia kerekayasaan listrik kandungan-kandungan arus pada frekuensi individual ini disebut sebagai arus harmonisa sedangkan n*f dikenal sebagai frekuensi harmonisa ke n. Frekuensi switching dapat terjadi hingga ribuan hertz, dan frekuensi dasar daya listrik yang umum digunakan adalah 50 hertz atau 60 hertz tergantung pada kebijakan masing-masing negara.

Arus harmonisa merupakan salah satu perhatian utama di dalam kerekayasaan listrik dan elektronika, karena arus-arus ini merupakan hasil sumbangan kecacatan dari gelombang aslinya.

Fakta kerekayasaan:

Pada transformator-daya (5MVA ke atas) sumbangan kecacatan harmonisa bisa terjadi karena beberapa sebab:

  1. 1.      Sumbangan arus kulit yang bersifat kapasitif karena adanya jarak/gap yang tidak layak antar lilitan, oleh karena itu pada manufaktur tranformator daya setelah lilitan selesai dipasang pada inti-magnetnya kemudian dilakukan pressing pada bagian atas dari satu paket lilitan dengan bagian bawah ditahan. Pressing dapat menggunakan tekanan hingga 30 kPa ke atas.

 

  1. 2.      Sumbangan lucutan muatan statis dari bagian dalam tank logam yang bersudut tajam atau kasar ketika transformator sedang dioperasikan sehingga electrical active part transformator harus ditutup dengan insulation paper board atau bahkan dengan corrugated insulation paper supaya muatan statis yang terlucut tidak menyumbangkan cacat harmonisa.

 

  1. 3.      Rugi-rugi arus eddy (eddy current losses) selain mengurangi efisiensi transformator juga dapat menyumbangkan cacat harmonisa mengingat frekuensinya yang mempunyai besar beberapa kali lipat dari frekuensi dasar listrik. Eddy current ini dihasilkan oleh penataan silicon laminated magnetic steel sheet yang tidak rapat pada paket-paketnya.

Leave a comment

Filed under Uncategorized

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s