DERET FOURIER

TUTORIAL SINGKAT

DERET FOURIER

Tentukan f(x) adalah suatu fungsi dari suatu variabel real x, fungsi ini bersifat periodik dengan lebar periode 2π, sehingga f(x+2π)=f(x), untuk setiap bilangan real x. Kita akan mencoba menulis fungsi tersebut sebagai suatu jumlah tak hingga, atau sebagai deret dari fungsi-fungsi periodik 2π yang sederhana. Kita akan mulai dengan suatu jumlah tak hingga dari fungsi-fungsi sinus dan cosinus pada interval [-π, π], lalu kita akan menggunakan formulasi-formulasi yang berbeda-beda dan kemudian melakukan generalisasi.

Rumus Fourier untuk fungsi-fungsi periodik 2π menggunakan sinus dan cosinus

Suatu fungsi periodik 2π f(x) yang bersifat integrabel pada ranah [-π, π], mempunyai bilangan-bilangan:

Dan

disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier dari f.

Kita akan mencoba menata konfigurasi dengan penulisan sebagai deret maka:

∑fn(x) = [a0 cos(0x)+ b0 sin(0x) ]+ [a1cos(x)+ b1sin(x)] + [a2cos(2x) + b2sin(2x)]

+ [a3cos(3x) + b3sin(3x)]+…+[ancos(nx) + bnsin(nx)]

dari persamaan di atas tampak bahwa pada n=0 mempunyai nilai yang tidak tergantung pada bagian sinusoidalnya sehingga dapat dirumuskan:

Penulisan jumlah parsial dari deret fourier f diatas dan dilakukan perluasan sampai pada nilai tak terhingga dapat dirumuskan menjadi:

disebut sebagai deret fourier ƒ.

Contoh 1:

Sebagai contoh mari kita uraikan bentuk gelombang kotak (square wave) :

dengan n = 1,2,3,4,5,…, bilangan real

maka akan diperoleh kesetaraan deret fourier dari gelombang kotak sebagai berikut:

atau

Di bawah ini adalah grafik pendekatan deret fourier hingga n=13 beserta gelombang kotak originalnya, dengan a = 10.

Gambar 1, gelombang kotak

Contoh 2:

Gelombang gigi gergaji (sawteeth wave) dengan gradient uniform/sama:

maka,

atau,

Grafik gelombang gigi gergaji dapat dilihat di bawah ini, grafik ini diperluas ekspansi variabelnya dengan  -2π ≤ x ≤ 2π, a = 10 dan n = 1,2,3,4,5:

Gambar 2, gigi gergaji gradient uniform

Deret Fourier Eksponensial

Kita mengenal dua formula Euler sebagai berikut

dengan i sebagai penanda bagian imajiner, kita telah mengenal di awal bab ini bahwa koefisien-koefisien deret Fourier dibentuk oleh serangkaian fungsi kosinus dan sinus.

Manipulasi matematis atas dua rumus Euler di atas menghasilkan:

Maka :

dan

maka

Dengan memanipulasi batasan n pada bagian paruh kedua ruas kanan persamaan (1) dengan menganggapnya sebagai “cermin” diperoleh:

sehingga diperoleh Deret Fourier sebagai,

Lebih jauh:

Sehingga formula deret fourier F(x) dapat dituliskan sebagai:

atau secara lebih baik ditulis sebagai,

dan

Pada ilmu kerekayasaan, ketika variable x menandakan waktu, urutan koefisien tersebut dinamai ranah frekuensi. Gelombang kotak sering digunakan untuk menunjukan bahwa ranah dari fungsi merupakan susunan frekuensi diskret.

Konvergensi dan aproksimasi

Deret Fourier tidak selalu memenuhi sifat konvergensi, dan bahkan jika konvergen pada suatu nilai tertentu x0 dar x, jumlah dari suatu deret pada x0 mungkin berbeda dari nilai f(x0) dari persamaan aslinya. Perihal konvergensi adalah satu dari pertanyaan-pertanyaan mendasar dalam analisis harmonik untuk menentukan kapan deret fourier memenuhi konvergensi, dan kapan jumlah dari deret sama dengan fungsi aslinya.

Contoh 3:

Berikut ini adalah satu set persamaan yang aproksimasi Fouriernya tidak mempunyai konvergensi, yaitu persamaan gelombang gigi gergaji dengan mengambil rentang -π ≤ x ≤ π dapat ditulis demikian:

atau

atau

Penyusunan persamaan penulis tinggalkan untuk latihan para pembaca, berikut ini grafiknya:

Gambar 3, grafik fourier diperkirakan divergen

Para pembaca dapat melihat bahwa jika nilai-nilai -2π,-π,0,π, dan 2π dimasukkan ke dalam deret fourier di atas maka tidak akan pernah mencapai 0, atau divergen. Hal ini terjadi karena adanya pergeseran antara bentuk gelombang dasarnya (grafik warna merah) dan hasil pendekatan menggunakan deret Fourier (grafik warna hitam).

Di dalam bidang fisika eksperimental dan kerekayasaan/engineering divergensi atau ketidak-konvergen-an diselesaikan dengan menggunakan estimasi pergeseran variable x, paling tidak untuk mendekati nilai-nilai nol (zero values).

Sebagai contoh gelombang dasar dari pada gambar 3 digeser ke kanan sebesar 11.520 maka akan diperoleh gambar seperti di bawah ini:

Gambar 4, pendekatan dengan pergeseran sudut 11.520

Nilai pergeseran sejauh 11.520 tersebut hanyalah suatu nilai pendekatan yang diperoleh dari perbandingan hasil deret Fourier dan set persamaan aslinya pada variabel-variabel yang ada, kemudian pada gilirannya akan dibandingkan dengan data-data eksperimental maupun hasil pengukuran kerekayasaan.

Satu pertanyaan penting bagi teori maupun penerapannya adalah konvergensi. Seperti yang telah ditunjukkan oleh Gambar 3 dan Gambar 4 di atas bahwa pergeseran yang dilakukan belum menunjukkan ke arah konvergensi. Deret Fourier secara spesifik, pada penerapan-penerapannya sering memerlukan penggantian pernyataan tak-berhingga/infinitive  dengan satu pernyataan berhingga.

Pernyataan ini disebut sebagai jumlah parsial. Kita akan melihat, bagaimanakah cara  (SN ƒ)(x) konvergen ke f(x) sejalan terhadap N menuju ke tak-berhingga.

Perhitungan akar terkecil

Katakanlah bahwa p adalah polinomial trigonometri pada derajat N dengan bentuk

Perlu ditekankankan bahwa SN ƒ adalah satu polinom trigonometri dengan derajat N. Teorema Parseval mengimplikasikan bahwa:

Teorema: Polinom trigonometrik SN ƒ merupakan polinom trigonometri terbaik yang unik pada derajat N yang mendekati f(x), dengan anggapan tersebut, untuk setiap polinom trigonometrik p adalah tidak sama dengan SN ƒ (p ≠ SN ƒ) pada derajat N, kita dapat merumuskan

Perumusan di atas dapat dringkaskan oleh norma ruang Hilbert:

Mari kita coba mengulas teorema ini menggunakan contoh 3 di atas tanpa mempertimbangkan bentuk eksponensial, hal ini dilakukan supaya kita memahami dahulu perhitungan akar terkecil. Kita ambil N=14,

dan f(x) adalah gelombang aslinya.

Grafik dari (SN f)(x), p(x), dan f(x) pada N=14 dapat dilihat di bawah ini:

 

(SN f)(x) menjadi tidak sama dengan p(x) disebabkan oleh pergeseran sebesar 0.201062.

Grafik dari  dan  digambarkan sebagai berikut:

 Grafik di atas menunjukkan bahwa kecenderungannya adalah  maka deret Fourier untuk contoh 3  cenderung konvergen.

Mungkin pembaca ragu-ragu bahwa deret Fourier pada contoh 3 dapat diadopsi ke dalam bentuk pernyataan kompleks, berikut ini buktinya:

Dari dua pernyataan matematis di atas kita memperoleh  dan .

Sekarang mari kita cari nilai dari:

dan

selanjutnya para pembaca dipersilakan melanjutkan, maka akan diperoleh hasil seperti pada contoh 3.

(*)Catatan: Grafik yang dibuat menggunakan program Microsoft Office Excel dengan pertimbangan program tersebut selalu menjadi bawaan Windows yang umum digunakan, pula mudah dioperasikan dan cukup akurat untuk analisis awal Fourier

10 Comments

Filed under Uncategorized

10 responses to “DERET FOURIER

  1. diana novianti

    buat nampiLin diagram itu d exel gmn caraNya gan??

  2. dhisik ora iso
    saiki lali

    entuk C dhisik

  3. Pingback: Deret Fourier « dyradian

  4. winda

    cara buat grafiknya gimana mas… ?

    • Mudah, buat tabel excel, tentukan sekuensial variabel/peubah bebas lalu masukkan sekuensial itu ke dalam rumus Fourier yang sudah matang; kemudian buat grafik excel-nya lalu ubah grafik itu ke bentuk JPG dengan meng-copy-nya terlebih dahulu ke paint-brush. Selamat mencoba !

  5. vinda

    bisa minta tolong dijelasin detailnya cara buat grafiknya gak? pakai program ap? trims

    • Seperti yang telah saya jelaskan sebelumnya saya menggunakan program excel, caranya mudah ! Kita hanya perlu memahami logika matematika fourier lalu memasukkan rumus matangnya untuk membuat tabel excel, kemudian buatlah grafik dari tabel itu.

  6. Aslan

    bagaimana kalau dibalik?
    gimana cara mencari fungsi/rumus dari grafik yang udah ada?

    • kalau mencari rumus dari grafik yang sudah ada itu bukan wilayah Deret Fourier tetapi Metode Numerik, di situ Anda akan mempelajari interpolasi dan ekstrapolasi Newton dan metode Runge-Kutta serta matrix gaussian🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s